线性代数 复习笔记

1 行列式

行列式的计算

$n$ 阶行列式公式：
$$D=\sum_p (-1)^t a_{1p_1}a_{2p_2}\cdots a_{np_n}$$
其中 $p$ 是 $n$ 阶全排列，$t$ 是其对应的逆序数

三阶行列式：主对角平行线积的和减去副对角平行线积的和

上/下三角行列式和对角行列式：主对角线元素的积

行列式的性质

1. 行列式中行与列等价（即对行成立的性质对列也成立）
2. 行列式沿主/副对角线翻转后值不变
3. 交换两行，行列式变号（有两行相同的值为0）
4. 某一行元素的公因数可以提出来
5. 某一行元素为两数之和，则行列式关于该行可分解为两个行列式之和
6. 某一行加上另一行后值不变
7. $\left|\begin{matrix}A&0\\ C&D\end{matrix}\right|=|A||D|$，$\left|\begin{matrix}A&B\\ C&D\end{matrix}\right|\neq|A||D|-|B||C|$

行列式按行展开

余子式和代数余子式

• 余子式：$n$ 阶行列式划去第 $i$ 行第 $j$ 列，剩下的 $n-1$ 阶行列式 $M_{ij}$
• 代数余子式：$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$

按行展开：$D=\sum_j a_{rj}A_{rj}$

2 矩阵及其运算

矩阵运算性质

矩阵乘法不满足交换律，但满足结合律和分配律

穿脱原理：$(AB)^T=B^TA^T,(AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}$

若 $A$ 是任意矩阵，则 $AA^T$ 和 $A^TA$ 都是对称阵

$A=0 \Leftrightarrow A^TA=0$

方阵的行列式

$|AB|=|A||B|$

伴随矩阵 $A^*$ 是行列式 $|A|$ 各元素的代数余子式构成矩阵的转置矩阵，满足:

• $AA^*=A^*A=|A|E$
• $|A^*|=|A|^{n-1}$，$n$ 为阶数

方阵的逆

1. $A^{-1}=\frac{A^*}{|A|}$
2. 矩阵 $A$ 可逆 $\Leftrightarrow |A|\neq 0$（称为非奇异矩阵）
3. $|A^{-1}|=|A|^{-1}$
4. $(A^{-1})^T=(A^T)^{-1}$
5. 若 $A$ 可逆，有定义 $A^0=E,A^{-k}=(A^{-1})^{k}$
6. 若 $A=P\Lambda P^{-1}$，则 $\varphi(A)=P\varphi(\Lambda)P^{-1}$，其中 $\varphi$ 是多项式

克拉默法则

用于求解线性非齐次方程组的结论，略

矩阵分块

分块对角矩阵

• 行列式等于对角元素的行列式的积
• 逆等于对角元素分别取逆

分块矩阵的转置等于整体转置+各个转置

3 矩阵的初等变换与线性方程组

矩阵的初等变换

初等行变换内容：

1. 对换两行
2. 使某一行乘上非零系数
3. 使某一行加上另一行乘系数

初等变换前后的矩阵等价（$A\sim B$）

初等行变换相当于左乘可逆矩阵，列变换相当于右乘可逆矩阵

初等矩阵：$E$ 进行一次变换操作得到的矩阵

可逆矩阵可以看作对 $E$ 进行一系列初等变换，因此求逆可以从 $E$ 开始用相反顺序执行相反变换

矩阵的秩

矩阵的 $k$ 阶子式：任取 $k$ 行 $k$ 列得到的交点构成的 $k$ 阶行列式

矩阵的秩：最高阶非零子式的阶数

• $A\sim B\Rightarrow R(A)=R(B)$
• $R(A^T)=R(A)=R(A^TA)$
• $\max{R(A),R(B)}\le R(A,B)\le R(A)+R(B)$
• $R(AB)\le \min{R(A),R(B)}$（相乘秩不增）

伴随矩阵的秩

• $R(A)=n\Leftrightarrow R(A^*)=n$
• $R(A)=n-1\Leftrightarrow R(A^*)=1$
• $R(A)<n-1\Leftrightarrow R(A^*)=0$

线性方程组的解

$n$ 元线性方程组 $Ax=b$：

• $R(A)<R(A,b) \Leftrightarrow$ 无解
• $R(A)=R(A,b)=n \Leftrightarrow$ 唯一解
• $R(A)=R(A,b)<n \Leftrightarrow$ 无限多解

方程组 $Ax=0$ 有非零解 $\Leftrightarrow$ 有无限多解

4 向量组的线性相关性

线性组合与线性表示

向量组能互相线性表示称为等价

向量组等价代表向量空间相同，而矩阵等价只需要秩相等

线性相关

当向量个数大于维数时一定线性相关

零向量可以被任何向量组线性表示，因此不影响秩

向量空间

线性齐次方程组解集的最大无关组称为基础解系，其张成的空间即解集称为解空间，空间的维度等于 $n-R(A)$

线性非齐次方程组的解集不是向量空间

基和坐标的变换：若基的变换公式为 $(a’_1,a’_2,..,a’_n)=(a_1,a_2,…,a_n)P$，则坐标变换公式为 $\begin{pmatrix}x’_1\\ x’_2\\ \vdots\\ x’_3\end{pmatrix}=P^{-1}\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_3\end{pmatrix}$，其中 $P=A^{-1}B$ 称为过渡矩阵

基在左，坐标在右；且坐标是列向量

5 相似矩阵和二次型

向量的正交性

向量的内积：$[x,y]=x^Ty$

向量的长度：$\lVert x\rVert _2$

向量的夹角：$\cos\theta=\frac{[x,y]}{\lVert x\rVert\lVert y\rVert}$

正交指向量内积为零

一组两两正交的非零向量线性无关

标准正交基：单位正交向量组，有无数个

向量 $a$ 在标准正交基 $e$ 中的坐标 $\lambda=ae$（此处是基在右）

施密特正交化：将基向量减去自己在现有正交基上的投影并加入正交基

正交矩阵：$A^{-1}=A^T \Leftrightarrow$ 列向量组是单位正交向量组

• $A$ 是正交阵 $\Rightarrow |A|=±1,$
• $A,B$ 是正交阵 $\Rightarrow AB$ 也是正交阵
• 正交矩阵对应的变换不改变向量长度

方阵的特征值和特征向量

若数 $\lambda$ 和非零列向量 $x$ 满足 $Ax=\lambda x$，则 $\lambda$ 称为 $A$ 的特征向量，$x$ 称为对应的特征值

由上述定义推得，特征方程 $|A-\lambda E|=0$ 的解就是特征值

特征值的性质

• 特征值的和等于矩阵的迹：$\sum\lambda=\sum a_{ii}$
• 特征值的积等于矩阵的行列式 $\prod\lambda=|A|$
• 非零特征值个数等于矩阵的秩 $R(A)$
• 若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则 $\varphi(\lambda)$ 是 $\varphi(A)$ 的特征值
• 若 $A$ 的特征值各不相等，则特征向量线性无关（注意不可反推）

相似

方阵 $B=P^{-1}AP$ 称为方阵 $A$ 的相似矩阵

相似矩阵的特征多项式相同，因此特征值都相同；但特征多项式相同的矩阵不一定相似

求矩阵的特征值或幂需要将矩阵对角化，对角化使用的矩阵 $P$ 由特征列向量构成（$P$ 不唯一，且对角化结果也不唯一）

由上，$A$ 可以对角化 $\Leftrightarrow A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量

合同

方阵 $B=C^{-1}AC$ 称为方阵 $A$ 的合同矩阵，其中 $C$ 可逆

合同变换保持秩、对称性、正负惯性指数，但不保持特征值

正交变换既是相似变换又是合同变换

对称矩阵的对角化

对称矩阵的特征值都是实数

对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交

对称矩阵一定能被正交对角化（可推广至二次型）

重复特征值对应的特征空间可以找到正交特征向量，但也可以取非正交的，因此也可以非正交对角化

二次型和标准型

二次型：含 $n$ 个变量的二次齐次函数

标准型：只含平方项的二次型

二次型可以用矩阵表示为 $x^TAx$，其中 $A$ 为系数构成的对称阵，因此：

• 二次型与对称阵一一对应
• 对称阵对角化的规律都可以应用于二次型标准化

正定二次型

正/负惯性指数：正/负特征值的个数

惯性定理：合同变换不改变惯性指数

对称矩阵的正定、半正定、负定、半负定、不定

正定 $\Leftrightarrow$ 特征值全为正 $\Leftrightarrow$ 各阶主子式全为正

负定 $\Leftrightarrow$ 奇数阶主子式全为负，偶数阶主子式全为正

6 线性空间与线性变换

线性空间

线性空间的定义

• 对加法和数乘封闭
• 加法交换律、加法结合律
• 加法零元、负元
• 乘法结合律、分配律
• 乘法单位元

子空间：非空子集+对加法和数乘封闭

维数相等的线性空间都同构，即所有向量和向量的线性组合都一一对应

线性变换

满足 $T(a_1+a_2)=T(a_1)+T(a_2),T(\lambda a)=\lambda T(a)$ 的映射 $T:V_n\rightarrow U_m$ 称为线性变换

向量组 $A$ 线性相关 $\Rightarrow$ $T(A)$ 线性相关，但线性无关（逆命题）不一定成立

线性变换的核空间：$N_T={\alpha|\alpha\in V,T\alpha = 0}$（会被映射到零的向量集合）

$\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n$ 的线性变换可以用矩阵来表示 $T(x)=Ax$，其中 $A=(T(e_1),T(e_2),…,T(e_n))$

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