线性代数 复习笔记
1 行列式
行列式的计算
$n$ 阶行列式公式:
$$D=\sum_p (-1)^t a_{1p_1}a_{2p_2}\cdots a_{np_n}$$
其中 $p$ 是 $n$ 阶全排列,$t$ 是其对应的逆序数
三阶行列式:主对角平行线积的和减去副对角平行线积的和
上/下三角行列式和对角行列式:主对角线元素的积
行列式的性质
- 行列式中行与列等价(即对行成立的性质对列也成立)
- 行列式沿主/副对角线翻转后值不变
- 交换两行,行列式变号(有两行相同的值为0)
- 某一行元素的公因数可以提出来
- 某一行元素为两数之和,则行列式关于该行可分解为两个行列式之和
- 某一行加上另一行后值不变
- $\left|\begin{matrix}A&0\\ C&D\end{matrix}\right|=|A||D|$,$\left|\begin{matrix}A&B\\ C&D\end{matrix}\right|\neq|A||D|-|B||C|$
行列式按行展开
余子式和代数余子式
- 余子式:$n$ 阶行列式划去第 $i$ 行第 $j$ 列,剩下的 $n-1$ 阶行列式 $M_{ij}$
- 代数余子式:$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$
按行展开:$D=\sum_j a_{rj}A_{rj}$
2 矩阵及其运算
矩阵运算性质
矩阵乘法不满足交换律,但满足结合律和分配律
穿脱原理:$(AB)^T=B^TA^T,(AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}$
若 $A$ 是任意矩阵,则 $AA^T$ 和 $A^TA$ 都是对称阵
$A=0 \Leftrightarrow A^TA=0$
方阵的行列式
$|AB|=|A||B|$
伴随矩阵 $A^*$ 是行列式 $|A|$ 各元素的代数余子式构成矩阵的转置矩阵,满足:
- $AA^*=A^*A=|A|E$
- $|A^*|=|A|^{n-1}$,$n$ 为阶数
方阵的逆
- $A^{-1}=\frac{A^*}{|A|}$
- 矩阵 $A$ 可逆 $\Leftrightarrow |A|\neq 0$(称为非奇异矩阵)
- $|A^{-1}|=|A|^{-1}$
- $(A^{-1})^T=(A^T)^{-1}$
- 若 $A$ 可逆,有定义 $A^0=E,A^{-k}=(A^{-1})^{k}$
- 若 $A=P\Lambda P^{-1}$,则 $\varphi(A)=P\varphi(\Lambda)P^{-1}$,其中 $\varphi$ 是多项式
克拉默法则
用于求解线性非齐次方程组的结论,略
矩阵分块
分块对角矩阵
- 行列式等于对角元素的行列式的积
- 逆等于对角元素分别取逆
分块矩阵的转置等于整体转置+各个转置
3 矩阵的初等变换与线性方程组
矩阵的初等变换
初等行变换内容:
- 对换两行
- 使某一行乘上非零系数
- 使某一行加上另一行乘系数
初等变换前后的矩阵等价($A\sim B$)
初等行变换相当于左乘可逆矩阵,列变换相当于右乘可逆矩阵
初等矩阵:$E$ 进行一次变换操作得到的矩阵
可逆矩阵可以看作对 $E$ 进行一系列初等变换,因此求逆可以从 $E$ 开始用相反顺序执行相反变换
矩阵的秩
矩阵的 $k$ 阶子式:任取 $k$ 行 $k$ 列得到的交点构成的 $k$ 阶行列式
矩阵的秩:最高阶非零子式的阶数
- $A\sim B\Rightarrow R(A)=R(B)$
- $R(A^T)=R(A)=R(A^TA)$
- $\max\lbrace R(A),R(B)\rbrace \le R(A,B)\le R(A)+R(B)$
- $R(AB)\le \min\lbrace R(A),R(B)\rbrace$(相乘秩不增)
伴随矩阵的秩
- $R(A)=n\Leftrightarrow R(A^*)=n$
- $R(A)=n-1\Leftrightarrow R(A^*)=1$
- $R(A)<n-1\Leftrightarrow R(A^*)=0$
线性方程组的解
$n$ 元线性方程组 $Ax=b$:
- $R(A)<R(A,b) \Leftrightarrow$ 无解
- $R(A)=R(A,b)=n \Leftrightarrow$ 唯一解
- $R(A)=R(A,b)<n \Leftrightarrow$ 无限多解
方程组 $Ax=0$ 有非零解 $\Leftrightarrow$ 有无限多解
4 向量组的线性相关性
线性组合与线性表示
向量组能互相线性表示称为等价
向量组等价代表向量空间相同,而矩阵等价只需要秩相等
线性相关
当向量个数大于维数时一定线性相关
零向量可以被任何向量组线性表示,因此不影响秩
向量空间
线性齐次方程组解集的最大无关组称为基础解系,其张成的空间即解集称为解空间,空间的维度等于 $n-R(A)$
线性非齐次方程组的解集不是向量空间
基和坐标的变换:若基的变换公式为 $(a’_1,a’_2,..,a’_n)=(a_1,a_2,…,a_n)P$,则坐标变换公式为 $\begin{pmatrix}x’_1\\ x’_2\\ \vdots\\ x’_3\end{pmatrix}=P^{-1}\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_3\end{pmatrix}$,其中 $P=A^{-1}B$ 称为过渡矩阵
基在左,坐标在右;且坐标是列向量
5 相似矩阵和二次型
向量的正交性
向量的内积:$[x,y]=x^Ty$
向量的长度:$\lVert x\rVert _2$
向量的夹角:$\cos\theta=\frac{[x,y]}{\lVert x\rVert\lVert y\rVert}$
正交指向量内积为零
一组两两正交的非零向量线性无关
标准正交基:单位正交向量组,有无数个
向量 $a$ 在标准正交基 $e$ 中的坐标 $\lambda=ae$(此处是基在右)
施密特正交化:将基向量减去自己在现有正交基上的投影并加入正交基
正交矩阵:$A^{-1}=A^T \Leftrightarrow$ 列向量组是单位正交向量组
- $A$ 是正交阵 $\Rightarrow |A|=±1,$
- $A,B$ 是正交阵 $\Rightarrow AB$ 也是正交阵
- 正交矩阵对应的变换不改变向量长度
方阵的特征值和特征向量
若数 $\lambda$ 和非零列向量 $x$ 满足 $Ax=\lambda x$,则 $\lambda$ 称为 $A$ 的特征向量,$x$ 称为对应的特征值
由上述定义推得,特征方程 $|A-\lambda E|=0$ 的解就是特征值
特征值的性质
- 特征值的和等于矩阵的迹:$\sum\lambda=\sum a_{ii}$
- 特征值的积等于矩阵的行列式 $\prod\lambda=|A|$
- 非零特征值个数等于矩阵的秩 $R(A)$
- 若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值,则 $\varphi(\lambda)$ 是 $\varphi(A)$ 的特征值
- 若 $A$ 的特征值各不相等,则特征向量线性无关(注意不可反推)
相似
方阵 $B=P^{-1}AP$ 称为方阵 $A$ 的相似矩阵
相似矩阵的特征多项式相同,因此特征值都相同;但特征多项式相同的矩阵不一定相似
求矩阵的特征值或幂需要将矩阵对角化,对角化使用的矩阵 $P$ 由特征列向量构成($P$ 不唯一,且对角化结果也不唯一)
由上,$A$ 可以对角化 $\Leftrightarrow A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量
合同
方阵 $B=C^{T}AC$ 称为方阵 $A$ 的合同矩阵,其中 $C$ 可逆
合同变换保持秩、对称性、正负惯性指数,但不保持特征值
正交变换既是相似变换又是合同变换
对称矩阵的对角化
对称矩阵的特征值都是实数
对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交
对称矩阵一定能被正交对角化(可推广至二次型)
重复特征值对应的特征空间可以找到正交特征向量,但也可以取非正交的,因此也可以非正交对角化
二次型和标准型
二次型:含 $n$ 个变量的二次齐次函数
标准型:只含平方项的二次型
二次型可以用矩阵表示为 $x^TAx$,其中 $A$ 为系数构成的对称阵,因此:
- 二次型与对称阵一一对应
- 对称阵对角化的规律都可以应用于二次型标准化
正定二次型
正/负惯性指数:正/负特征值的个数
惯性定理:合同变换不改变惯性指数
对称矩阵的正定、半正定、负定、半负定、不定
正定 $\Leftrightarrow$ 特征值全为正 $\Leftrightarrow$ 各阶主子式全为正
负定 $\Leftrightarrow$ 奇数阶主子式全为负,偶数阶主子式全为正
6 线性空间与线性变换
线性空间
线性空间的定义
- 对加法和数乘封闭
- 加法交换律、加法结合律
- 加法零元、负元
- 乘法结合律、分配律
- 乘法单位元
子空间:非空子集+对加法和数乘封闭
维数相等的线性空间都同构,即所有向量和向量的线性组合都一一对应
线性变换
满足 $T(a_1+a_2)=T(a_1)+T(a_2),T(\lambda a)=\lambda T(a)$ 的映射 $T:V_n\rightarrow U_m$ 称为线性变换
向量组 $A$ 线性相关 $\Rightarrow$ $T(A)$ 线性相关,但线性无关(逆命题)不一定成立
线性变换的核空间:$N_T=\lbrace \alpha|\alpha\in V,T\alpha = 0\rbrace$(会被映射到零的向量集合)
$\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n$ 的线性变换可以用矩阵来表示 $T(x)=Ax$,其中 $A=(T(e_1),T(e_2),…,T(e_n))$
线性代数 复习笔记